Modellazione e analisi push-over per il
miglioramento sismico di un edificio ospedaliero
esistente realizzato in muratura confinata
eseguite con i software Straus7® ed EasyOver
Progettisti strutturali:
ing. Giorgio Poggi, ing. Gabriele Brighenti – Politecnica Ingegneria ed Architettura Soc. Coop.
Autori e consulenti:
ing. Gerardo Masiello, ing. Francesco Del Viva, ing. Pietro Diamanti, ing. Antonio Navazio – SMStrutture Srl
Sviluppatore software EasyOver:
ing. Giovanni Di Sciascio – Di Sciascio Srl
Abstract
Il presente lavoro ha riguardato il miglioramento sismico di un edificio ospedaliero caratterizzato da diversi
sistemi strutturali coesistenti, derivanti da modifiche subite nel corso degli anni, dal 1914, data di
realizzazione della porzione originaria, passando per gli anni ’60-‘70, data di realizzazione di un significativo
ampliamento. Trattasi del cosiddetto “Edificio 10” facente parte del complesso ospedaliero Cittadella San
Rocco, in Corso della Giovecca, 192, nella città di Ferrara (FE).
Gli interventi subiti nel corso del tempo, dai più impattanti ai meno, da quelli reperiti da documentazione
storica a quelli privi di tracciabilità, hanno condotto ad una configurazione strutturale molto variegata, le cui
caratteristiche sono state accertate e comprese attraverso una campagna di indagini in sito, ed un confronto
critico con risultanze sperimentali relative a corpi di fabbrica adiacenti e storicamente affini.
In particolare, sono presenti vari sistemi costruttivi, quali pareti in mattoni pieni a cassa-vuota con pilastri in
c.a. di irrigidimento, generalmente posti ai lati delle aperture, cordoli di piano in c.a., murature a due teste
in mattoni pieni, sistema di copertura in capriate lignee; ai fini sismici, si è reso inoltre necessario
l’inserimento di nuove pareti in muratura in blocchi semipieni.
La versatilità e completezza del software di calcolo Straus7, e dell’annesso applicativo per analisi statiche non
lineari EasyOver, hanno permesso di poter schematizzare il problema in maniera coerente con questa realtà,
tenendo conto delle opportune rigidezze degli elementi e della mutua collaborazione fra diversi sistemi
costruttivi. A tal riguardo, sono state adottate procedure di modellazione ad hoc, dall’impiego di elementi
semplici di tipo beam, per schematizzare pilastri, travi e cordoli di piano, passando per elementi
bidimensionali tipo plate per le rappresentazioni delle nuove pareti e delle pareti esistenti aggiunte nel
tempo, fino all’impiego di sistemi più complessi realizzati dall’accoppiamento di elementi link ed elementi
beam non lineari di tipo connection per la modellazione dei pannelli murari confinati risalenti all’epoca della
costruzione.
Stato di fatto e stato di progetto del complesso strutturale
Ai fini di una corretta individuazione del sistema strutturale esistente e del suo stato di sollecitazione è stato
primariamente necessario effettuare una analisi storico critica del complesso da cui sono emerse le modifiche
strutturali a cui il fabbricato è stato oggetto dall’epoca della costruzione fino ad oggi.
L’edificio ha una forma in pianta approssimativamente rettangolare, di lati 14 m x 50 m circa, e si sviluppa
con un piano interrato di limitata altezza netta, circa 1.6 m, e 3 piani fuori terra per un’altezza totale di circa
14.5 m. La copertura è principalmente di tipo a capanna ed esclusione di una porzione piana oggetto di
ampliamento di fine anni ’60.
Viste del contesto di ubicazione dell’opera
L’edificio presenta fondazioni nastriformi di sezione rettangolare, un piano interrato con altezza netta media
di 1.40m, due piani fuori terra. I solai del piano terra, piano primo e secondo sono costituiti da una soletta
nervata in cemento armato e alcune porzioni in latero – cemento. Non è stata rilevata la presenza di un vero
e proprio solaio di sottotetto ma è presente un controsoffitto leggero sostenuto da travicelli collegati ai
correnti inferiori delle capriate lignee di copertura. Per quanto riguarda le strutture in elevazione, la porzione
originaria del fabbricato esistente presenta una struttura di tipo misto pareti in muratura “a cassa vuota” –
pilastri in c.a.; sono presenti, a tutti i piani dell’edificio, pareti costituite da due file di mattoni in laterizio
pieno dello spessore di circa 15 cm, intervallati da una camera d’aria dello spessore di circa 10 cm. Dei due
paramenti, solamente il paramento lato interno edificio risulta essere portante perché gravato direttamente
dall’appoggio del cordolo di piano. Sono presenti dei pilastri in c.a. (di sezione media 30x30 cm), continui (la
maggior parte) da fondazione a sottotetto, posti generalmente ai lati delle aperture con funzione, molto
probabilmente, di cerchiatura e confinamento delle medesime, date anche le considerevoli altezze di
interpiano. È stata effettuata una campagna di indagini finalizzata a raggiungere un livello di conoscenza LC2
per il fabbricato in oggetto.
Di seguito i parametri sismici impiegati nelle analisi.
Parametro
Valore
Classe d’uso
III
Vita nominale VN
50 anni
Coefficiente d’uso Cu
1.5
Periodo di riferimento per l’azione sismica, VR = VN x CU
75 anni
Piano tipico – stato di fatto
Piano tipico – stato di progetto
Modellazione numerica
Per la modellazione del comportamento della struttura è stato definito un modello FEM tridimensionale che
ha permesso di rappresentare in modo adeguato le effettive distribuzioni di massa, rigidezza e resistenza.
La schematizzazione numerica è stata condotta cercando di cogliere e rappresentare globalmente il sistema
costruttivo ibrido; infatti, trascurare il contributo degli elementi di tamponamento avrebbe falsato il reale
comportamento della struttura. Nella definizione del modello gli elementi strutturali considerati “secondari”
e gli elementi non strutturali autoportanti (parapetti, tamponature e tramezzi), essendo tali da non
modificare significativamente il comportamento della struttura, sono stati rappresentati unicamente in
termini di massa trascurando il loro contributo alla rigidezza e alla resistenza del sistema strutturale.
I pilastri, i cordoli di piano, le travi di impalcato e le nervature dei solai nervati in c.a. sono stati modellati
utilizzando elementi beam, mentre le pareti in muratura di nuova realizzazione e le pareti in muratura
esistente in mattoni pieni a due teste (zona ampliamento anni ‘66-70) sono stati modellati utilizzando
elementi plate/shell. Il corpo principale del fabbricato, risalente al 1914, è costituito da una struttura mista
pilastri e travi/cordoli in c.a. – muratura in mattoni pieni ad una testa. Per cogliere in modo quanto più
accurato possibile il comportamento globale del fabbricato e l’interazione tra pannelli murari e elementi in
c.a., si è schematizzata la muratura con due ordini di elementi finiti tipo connection. Il primo denominato
“biella equivalente”, deputato all’assorbimento dei carichi gravitazionali, dotato solamente di rigidezza
estensionale, e avente un diagramma forza-spostamento non lineare in sola compressione.
Diagramma forza-spostamento per la biella equivalente per carichi verticali
Questo tipo di elementi finiti ha la funzione di simulare la collaborazione a carico verticale che i pannelli
murari hanno nei confronti delle colonne in c.a., limitandone quindi la componente assiale di carico che in
alternativa risulterebbe incompatibile con le sezioni rilevate.
Il secondo elemento tipo connection, denominato “puntone equivalente”, è costituito da due diagonali
eccentrici disposti a croce di Sant’Andrea inseriti all’interno del telaio in c.a., necessari per schematizzare
l’interazione in fase sismica fra i due sistemi costruttivi. Infatti, il trasferimento delle forze laterali lungo la
struttura provoca una distribuzione non uniforme di tensioni tra gli elementi del telaio ed il pannello in
muratura. Al crescere delle forze le tensioni variano fino alla rottura del pannello, che avviene per il
raggiungimento della resistenza a taglio o a compressione. Il metodo proposto per studiare il comportamento
del sistema telaio-muratura consiste dunque nel modellare il telaio in c.a. contenente dei puntoni equivalenti
eccentrici che rappresentano la muratura. Il metodo può essere utilizzato per telai completamente o
parzialmente tamponati, con presenza di aperture o con pannelli danneggiati. Tali elementi diagonali
presentano solo rigidezza estensionale necessaria per lo svolgimento delle analisi lineari (rigidezza dimezzata,
solo per questo tipo di analisi, rispetto a quella dell’elemento interamente reagente per considerare il doppio
ordine di diagonali, in virtù del fatto che essi reagiscono solo a compressione), e avente un diagramma forza-
spostamento, assegnato sempre lungo l’asse 3 dell’elemento (asse longitudinale), che consente lo
svolgimento delle analisi non lineari, in modo da cogliere l’effettivo comportamento della muratura, reagente
in sola compressione. Il modello utilizzato come legame forza – spostamento del puntone equivalente è
quello di Panagiotakos & Fardis (1996) nel loro studio “Seismic response of infilled rc frames structures”. Nel
quadrante della compressione, la curva fornita dai due autori è composta da quattro segmenti, che
corrispondono rispettivamente al comportamento iniziale a taglio del pannello non fessurato, al
comportamento a biella equivalente del pannello fessurato a distacco avvenuto, al comportamento instabile
del pannello oltre la resistenza massima ed allo stato finale del pannello dopo la rottura completa, con una
resistenza residua costante.
Diagramma forza-spostamento del puntone equivalente suggerito da Panagiotakos & Fardis (sx). Parametrizzazione delle aperture
nei pannelli murari (dx)
Diagramma forza-spostamento per puntone tipico
Schematizzazione del sistema pilastro - muratura
Le solette e le cappe di solaio in c.a., che costituiscono il diaframma di piano, sono state modellate utilizzando
elementi 3D Membrane, con spessore per la rigidezza membranale pari allo spessore della cappa in
calcestruzzo e spessore per la rigidezza flessionale nullo.
Lo zero sismico di progetto è stato considerato a livello dell’impalcato di piano terra, in quanto il piano
interrato funge da struttura scatolare rigida di base.
Per l’analisi elastica lineare e per l’analisi modale, nella rappresentazione della rigidezza degli elementi
strutturali si è tenuto conto della fessurazione. La rigidezza flessionale e a taglio degli elementi strutturali, sia
nuovi che esistenti, è stata assunta pari al 50% della rigidezza dei corrispondenti elementi non fessurati.
Modello FEM della struttura (con e senza solai)
Analisi non lineari con Straus7 e EasyOver
Introduzione
Nel progetto in esame le analisi statiche non lineari sono state condotte utilizzando EasyOver, un applicativo
del programma agli elementi finiti Straus7.
L'analisi non lineare statica consiste nell’applicare alla struttura i carichi gravitazionali e, per la direzione
considerata dell’azione sismica, un sistema di forze orizzontali distribuite, ad ogni livello della costruzione,
proporzionalmente alle forze d’inerzia ed aventi risultante (taglio alla base) Fb.
Tali forze sono scalate in modo da far crescere monotonamente, sia in direzione positiva che negativa e fino
al raggiungimento delle condizioni di collasso locale o globale, lo spostamento orizzontale dc di un punto di
controllo coincidente con il centro di massa dell’ultimo livello della costruzione (sono esclusi eventuali
torrini).
Il diagramma Fb - dc rappresenta la curva di capacità della struttura.
Profili di carico
Il programma prevede la possibilità di applicare le distribuzioni di forze previste dalla Norma (Gruppo 1 e
Gruppo 2):
Distribuzione corrispondente alla forma del modo fondamentale di vibrare nella direzione
considerata (appartenente al Gruppo 1):
Distribuzione corrispondente all’andamento delle forze calcolate in un’analisi dinamica lineare
(appartenente al Gruppo 1), includendo nella direzione considerata il numero di modi stabilito
dall’utente:
n m minimni FFF ,,,
dove:
,
,jaijijij TSMF
jijiji
ji
mn
,
2
2
,,
23
,
2
,411
8
essendo:
i = indice nodo; j, n, m = indice modo di vibrare;
ξ = smorzamento viscoso dei modi di vibrare;
βi,j = Tj/Ti = rapporto tra l’inverso dei periodi di ciascuna coppia i-j di modi.
Distribuzione uniforme, nella quale le forze sono proporzionali alle masse (appartenente al Gruppo
2):
Distribuzione adattiva (appartenente al Gruppo 2), continuamente aggiornata durante l’analisi, in
maniera da riflettere il progressivo degrado della rigidezza della struttura. Questa distribuzione
considera il contributo di più modi di vibrare, aggiornati ad ogni step di carico:
dove:
essendo:
i = indice nodo; j,n,m = indice modo di vibrare;
ξ = smorzamento viscoso dei modi di vibrare;
βi,j = Tj/Ti= rapporto tra l’inverso dei periodi di ciascuna coppia i-j di modi.
Modello a fessure spalmate rotanti per la modellazione della risposta non lineare delle pareti in
muratura
Il seguente paragrafo illustra un approccio prestazionale, basato sull’implementazione di un modello analitico
in grado di analizzare la risposta in campo non lineare delle pareti in muratura: trattasi di un modello a fessure
spalmate rotanti, applicato agli elementi finiti di tipo Plate, integrato in EasyOver, l’applicativo di Straus7 per
le analisi statiche non lineari (analisi Pushover) di edifici nuovi ed esistenti.
La muratura è un materiale da costruzione composito, composto da unità (pietre, mattoni, blocchi) collegate
da giunti di malta posti orizzontalmente e verticalmente all'interno della muratura stessa. I giunti di malta
normalmente agiscono come piani di debolezza, a causa della loro bassa resistenza a trazione e a taglio. La
presenza dei giunti rende la muratura un materiale ortotropo, avente proprietà dipendenti dalla direzione e
dall'orientamento dei giunti rispetto alle principali sollecitazioni applicate.
Il modello analitico per la muratura si basa sul modello del campo di stress disturbato (Disturbed Stress Field
Model, DSFM) sviluppato specificatamente dal Proff. Frank J. Vecchio per il cemento armato. A differenza dei
modelli di fessure spalmate convenzionali, il DSFM per muratura è in grado di combinare la rappresentazione
macroscopica media del comportamento del materiale con la risposta locale taglio-scorrimento dei giunti di
malta. Oltre ai vantaggi tipici dei macro-modelli (basso costo computazionale, rappresentazione sintetica del
comportamento strutturale), la formulazione proposta tenta di consentire la previsione della risposta
strutturale anche nei casi in cui il meccanismo del danno è regolato dal comportamento locale dei giunti in
muratura.
Questa formulazione valuta sia le tensioni e le deformazioni medie (ad es. le tensioni principali medie di
trazione fm1 e di compressione fm2 e le corrispondenti deformazioni principali) che le tensioni e deformazioni
locali della malta (le tensioni di taglio vbj, vhj e le tensioni normali fnbj, fnhj che si sviluppano nei giunti orizzontali
e verticali) durante le varie fasi di carico.
La modellazione è basata su quattro gruppi di equazioni, di seguito descritte.
Relazioni di equilibrio per le tensioni medie e attraverso le fessure, sia nei mattoni che nei giunti di malta
Le forze applicate all'elemento in muratura sono equilibrate da sollecitazioni interne agenti nei componenti
della muratura. L'equilibrio membranale dell'elemento deve essere valutato globalmente in termini di
sollecitazioni medie spalmate e localmente considerando le sollecitazioni che agiscono lungo i giunti di malta.
Elemento in muratura non armata: condizioni di geometria e di carico e cerchio di Mohr delle tensioni medie
Relazioni di equilibrio
Nel modello, la muratura è considerata un materiale ortotropo che potrebbe subire la formazione di fessure
spalmate; quindi, le tensioni principali medie della muratura fm2 e fm1 agiscono parallelamente e
perpendicolare al piano della fessura la cui direzione è definita dall'angolo θ. Al fine di tenere conto del
comportamento di softening della tensione della muratura, la tensione principale fm1 è considerata attiva
anche dopo le fessurazioni. Per mettere in relazione la deformazione media netta con le sollecitazioni globali
applicate all'elemento, la seguente relazione può essere utilizzata:
dove [Dm] è la matrice di rigidezza secante del materiale per muratura, [f] è il vettore delle tensioni espresse
nel sistema di riferimento globale x-y e [εm] è la deformazione netta agente nella muratura. Una volta
determinate le tensioni principali, le tensioni interne della muratura fmx, fmy e vmxy possono essere
semplicemente valutate mediante il cerchio di Mohr delle tensioni.
Lungo i piani della fessura, perpendicolare alla direzione della sollecitazione principale di trazione, nessuna
sollecitazione di taglio è considerata agente. È possibile derivare le sollecitazioni interne locali che agiscono
nelle posizioni dei giunti dalle condizioni di equilibrio dell’elemento in muratura non armata; quindi, con
riferimento al cerchio di Mohr delle tensioni e alle condizioni di equilibrio rappresentate nelle figure
precedenti, le sollecitazioni nei giunti possono essere ricavate dalle seguenti relazioni:
dove ψ = θ - α è la differenza tra l'angolo θ normale alla direzione della fessura e l'angolo α, che definisce la
direzione dei giunti orizzontali.
Relazioni di compatibilità
Le deformazioni totali esibite dall'elemento in muratura sono date dalla sovrapposizione di due componenti:
la prima è la deformazione del continuum dovuto alle tensioni applicate, con le fessure considerate spalmate
all'interno dell'area dell'elemento; la seconda componente è rappresentata dalla deformazione che risulta
dallo scorrimento che si verifica lungo i giunti orizzontali e verticali.
Con riferimento ad un sistema di riferimento x-y, sono le deformazioni nette εmx, εmy e γmxy dovute alla
risposta costitutiva media che devono essere impiegate in appropriati legami costitutivi per determinare le
sollecitazioni medie nella muratura. In base alle relazioni dedotte dal cerchio di deformazione di Mohr, le
deformazioni principali si ricavano dalla relazione seguente:
Si presume che l'inclinazione delle fessure all'interno del continuum coincida con l'inclinazione delle
deformazioni principali nette, θ, e l'inclinazione delle tensioni principali, θσ. In altri termini, viene adottato il
concetto di fessura rotante, quindi
Si presume che l'elemento in muratura sia costituito da elementi rettangolari (mattoni) che sono collegati tra
loro da giunti di malta verticali e orizzontali aventi spessore thj e tbj, e spaziatura shj e sbj. Lo sforzo di taglio
che agisce parallelamente al giunto provoca uno scorrimento locale lungo il piano del giunto la cui grandezza
è δsbj per i giunti orizzontali e δshj per i giunti verticali. Quindi, la deformazione di taglio media dovuta allo
scorrimento sui giunti orizzontali e verticali può essere rispettivamente definita come segue:
La deformazione di scorrimento totale può essere scomposta in componenti ortogonali nel sistema di
riferimento x-y, che possono essere calcolate rispettivamente per i giunti orizzontali εsbj e verticali εshj tramite
la costruzione del cerchio di Mohr:
La somma dei vettori risultanti fornisce la deformazione di scorrimento media equivalente εs:
Oltre alle deformazioni nette e di scorrimento lungo i giunti, negli elementi murari possono verificarsi due
altri tipi di deformazione: la deformazione elastica εm, che può nascere da espansione termica o meccanica,
e la deformazione plastica εpm, che può nascere da condizioni di carico ciclico o da condizioni di carico a livelli
di post-picco. Considerando questi effetti, la deformazione totale (o apparente) ε calcolata nel sistema di
riferimento x-y può essere calcolata tramite la seguente relazione:
Nel nostro caso (analisi statica non lineare) considereremo nulli gli ultimi due termini dell’equazione di sopra.
L’angolo totale θε , relativo all’inclinazione della deformazione principale totale, può essere calcolato come
segue:
Le fessure, spalmate sulla zona dell'elemento in muratura, sono caratterizzate da una larghezza media w e
una distanza media s. Nelle strutture in muratura più antiche e moderne, le unità sono generalmente molto
più rigide e resistenti della malta e i giunti hanno un minore spessore rispetto alle singole unità; quindi, è
ragionevole supporre che in un elemento in muratura tendano generalmente a formarsi delle fessure nelle
fughe prima che nei mattoni. In considerazione di ciò, si possono definire delle distanze nominali delle fessure
nelle direzioni x’ e y’, indicate sx’ e sy’, che corrispondono alla spaziatura dei giunti di testa shj e a quella dei
giunti orizzontali sbj, rispettivamente. Quindi, prendendo in considerazione la direzione α dei giunti
orizzontali, la distanza media delle fessure nel continuo fessurato può essere calcolata come
La deformazione principale netta di trazione e la spaziatura media tra le fessure possono essere utilizzate per
calcolare l’ampiezza media w delle fessure attraverso la seguente relazione:
Relazioni costitutive per la muratura
La relazione sforzo-deformazione di compressione per la muratura è simile a quella del calcestruzzo e può
essere rappresentata da equazioni simili. Il comportamento della muratura nelle condizioni di pre-picco è
ragionevolmente definito quando sono noti il modulo elastico tangente iniziale (Em), la resistenza media alla
compressione (f’m), e la deformazione al picco ε0.
In questo modello viene adottata la formulazione proposta da Hoshikuma et al. (1997), utilizzata anche per
il cemento armato confinato. A differenza di altri modelli, la relazione di Hoshikuma si basa su una funzione
che considera il modulo elastico iniziale della muratura indipendentemente dalla resistenza a compressione
e dalla deformazione al picco. Questo approccio è risultato essere più efficace nella modellazione della
risposta a compressione delle strutture in muratura. Il ramo decadente della relazione sforzo-deformazione
è fornito dal modello di Kent-Park modificato proposto da Priestley e Elder (1983) per la muratura. Questo
modello è costituito da un ramo discendente lineare e da un plateau finale orizzontale al 20% della resistenza
a compressione della muratura.
La pendenza Zm del ramo lineare discendente è data da
dove fj è la resistenza alla compressione della malta.
Le relazioni costitutive della muratura tengono conto del fenomeno di softening a compressione (per via della
presenza di fessure nella direzione ortogonale a quella principale di compressione). Il tension softening viene
espresso attraverso il parametro βd applicato alla resistenza a compressione uniassiale, compreso tra 0 e 1,
il cui valore si ottiene dalla seguente formula:
in cui i fattori Cd e Cs vengono calcolati secondo il Modello Vecchio 1992-A (Vecchio e Collins 1993).
dove r = εm1/εm2.
Inoltre, la rottura della muratura non può essere definita semplicemente in termini di tensioni principali ma
necessita di un parametro aggiuntivo, cioè dell’orientamento del giunto orizzontale rispetto alla direzione
delle sollecitazioni principali.
La formulazione di Ganz parte dal presupposto che un criterio di rottura completo per la muratura deve tener
conto dell'eventuale cedimento dei componenti (mattoni, giunti di malta), oltre che della rottura del
materiale composito. I mattoni sono considerati come blocchi prismatici con perforazioni verticali interne
perpendicolari ai giunti orizzontali; pertanto, ciascuna unità è disaccoppiata in una componente di sforzo
uniassiale ed una biassiale, aventi un comportamento rigido perfettamente plastico. I giunti di malta sono
soggetti a sollecitazioni che agiscono parallelamente e perpendicolarmente al piano dei giunti. La rottura a
taglio dei giunti di malta è regolata per mezzo di un criterio di Coulomb modificato, nel quale la rottura a
compressione della malta è esclusa a causa dello stato di stress di compressione triassiale agente sui giunti.
Il modello in esame implementa il criterio di rottura proposto da Ganz per la muratura soggetta a forze nel
piano, espresso in termini di tensioni principali.
Per definire completamente una superficie di questo tipo, alcuni parametri di base della muratura devono
essere noti: la resistenza media alla compressione valutata nella direzione dell'asse x (fmx), la resistenza alla
compressione media valutata nella direzione dell'asse y (fmy), l'angolo di attrito (φ) e la coesione (c) dei giunti
del letto di malta, il rapporto tra la resistenza alla trazione e la resistenza alla compressione nella direzione x
(ωm) e il valore della resistenza alla trazione dell'interfaccia unità-malta (f’t = fty).
Come si evince dalla figura, la resistenza a compressione f2 dipende dal valore della tensione nella direzione
ortogonale f1. All’aumentare del rapporto f1/f2 la curva trasla verso l’alto e aumenta il valore della resistenza
a compressione f2.
La formulazione di Ganz tiene conto anche della dipendenza della resistenza a compressione
dall’orientamento del giunto orizzontale rispetto alla direzione delle sollecitazioni principali (ψ = θ – α,
essendo θ l’angolo normale alla direzione della fessura e α l’angolo che definisce la direzione dei giunti
orizzontali).
Dividendo la resistenza massima della muratura f2(f1, θ) ottenuta dal criterio di rottura per la resistenza della
muratura fmy, si ottiene il fattore di riduzione βm:
Quindi, con la determinazione dei fattori di riduzione βd e βm, la sollecitazione di picco fp e la deformazione
alla sollecitazione di picco εp vengono determinate con le seguenti relazioni:
dove f’m = fmy e ε0 è la deformazione corrispondente alla tensione di compressione di picco f’m.
Il comportamento anisotropo della muratura influisce anche sul valore del modulo elastico iniziale Em,
essendo massimo nella direzione perpendicolare ai giunti orizzontali (Emy) e minimo nella direzione parallela
ai giunti orizzontali (Emx).
Quindi, nei legami costitutivi a compressione e a trazione, il modello utilizza un modulo di Young anch’esso
dipendente dall’angolo ψ = θ – α (figura seguente).
Dipendenza del modulo di Young dall’orientamento del giunto orizzontale rispetto alla direzione delle sollecitazioni principali
Analogamente alla compressione, la muratura in trazione è caratterizzata da un comportamento ortotropo
sia nella fase elastica che in quella anelastica. Nella fase elastica, la muratura è considerata elastica lineare
fino a quando lo sforzo di trazione principale fm1 raggiunge il carico di rottura massimo f’t e, di conseguenza,
inizia il processo di fessurazione. Quindi, prima che avvenga la fessurazione, viene utilizzata la seguente
relazione lineare:
In seguito all’inizio della fessurazione, la tensione di trazione nella muratura non scende bruscamente a zero
ma diminuisce gradualmente (tension softening). Nel modello in esame, la risposta a trazione della muratura
non armata utilizza la curva di decadimento esponenziale suggerita da Hordjik et al.
In base al valore dell’energia di frattura del modo I, G’f, la deformazione ultima a trazione εtu può essere
determinata con la relazione seguente:
dove Lr = lunghezza caratteristica, ft’ = resistenza a trazione della muratura.
Modellazione dello scorrimento a taglio lungo i giunti di malta
La modellazione della risposta dei giunti di malta si basa su una relazione elastoplastica del legame taglio
scorrimento (figura seguente).
Scorrimento a taglio lungo i giunti di malta
La pendenza del ramo elastico lineare coincide con la rigidezza al taglio della muratura Gmj, il cui valore può
essere stimato con la seguente relazione, tratta dalla teoria dell'elasticità:
dove νxy è il coefficiente di Poisson della muratura.
Per determinare il taglio massimo vj,max viene adottato un criterio di snervamento di tipo Mohr-Coulomb
iperbolico, che necessita della definizione dei tre parametri coesione (c), pendenza degli asintoti dell’iperbole
(μ = tanφ) e valore residuo della resistenza a trazione fm1, che segue il decadimento esponenziale del tension
softening sopra illustrato. Durante il processo di softening il vertice dell'iperbole si sposta dal valore massimo
f't, ovvero la massima resistenza alla trazione nella fase non fessurata, a zero, provocando una traslazione
rigida della superficie di snervamento nella direzione parallela all’asse delle ascisse fnj. La pendenza
dell'asintoto dell'iperbole e la coesione sono mantenute costanti e uguali ai loro valori iniziali sia nella fase
elastica che in quella di tension softening.
Il criterio può essere espresso con la seguente relazione:
Dove
è il raggio di curvatura della curva di snervamento al vertice dell’iperbole.
Nota la tensione normale nei giunti orizzontali o verticali fnj, il valore massimo dello sforzo di taglio del giunto
vj,max(fnj) è determinato dal criterio di snervamento. Pertanto, se la seguente relazione è soddisfatta:
e il giunto non ha subito snervamento nelle precedenti fasi di carico, lo scorrimento a taglio è controllato dal
ramo elastico lineare della relazione sforzo di taglio-deformazione:
Non appena viene raggiunta la condizione di snervamento:
si avrà uno scorrimento plastico del giunto.
Procedura di calcolo del modello a fessure spalmate rotanti
EasyOver assembla opportunamente le matrici di rigidezza anisotrope degli elementi plate della mesh
muraria.
Il calcolo non lineare è ottenuto adottando un metodo iterativo con formulazione a rigidezza secante in cui
ad ogni iterazione vengono aggiornate le rigidezze dei materiali elastici anisotropi definiti da EasyOver in un
sotto-modello appositamente creato e ricavato dal modello principale. Nello specifico, la generica iterazione
è suddivisa in tre step. Il primo step è necessario ad ottenere la nuova domanda della struttura in termini di
spostamento. Si impongono quindi tali spostamenti nel sotto-modello contenente tutti gli elementi Plate con
formulazione a rigidezza secante (secondo step). Ottenuta la convergenza nel sotto-modello, EasyOver
aggiornerà il modello principale, attribuendo agli elementi plates le matrici ottenute dal calcolo iterativo sul
sotto-modello, ed applicherà una nuova forzante (terzo step), modificata rispetto alla forzante applicata nel
primo step, in maniera da riprodurre il pattern di spostamenti ottenuto al primo step (evidentemente il taglio
risultante alla base associato a questa nuova distribuzione sarà minore di quello del primo step, per via del
degrado e della conseguente perdita di rigidezza del modello rispetto all’iterazione precedente).
Terminato anche il terzo step, EasyOver applicherà l'incremento di carico successivo, procedendo quindi con
una nuova iterazione.
Composizione della matrice di rigidezza dell'elemento
Questa metodologia consente di inserire il modello secante a fessure spalmate rotanti in un modello FEM nel
quale sono presenti anche altri tipi di non linearità, come ad esempio i diagrammi Momento-Curvatura
associati agli elementi beam in cemento armato (calcolati automaticamente da EasyOver ed aggiornati ad
ogni Stage dell’analisi in base ai valori correnti dello sforzo normale e della luce di taglio), elementi Spring-
Damper, CutoffBar, altre non linearità per elementi finiti di tipo Plate e Brick (Von Mises, Tresca, Mohr
Coulomb, Drucker Prager) e via discorrendo. In altri termini, l’approccio consente una modellazione non
lineare accurata delle strutture miste telaio-pareti.
EasyOver dispone di appositi menù per la definizione dei parametri del materiale delle murature da associare
agli elementi Plate del modello FEM.
Grazie a questa accurata modellazione del comportamento non lineare delle pareti in muratura, si riescono
ad ottenere le prestazioni di una struttura esistente o anche di un edificio di nuova progettazione. È quindi
possibile descrivere e riscontrare tutti i meccanismi di collasso della muratura, nonché la duttilità strutturale,
che risulta essere quindi un risultato dell’analisi anziché un dato di ingresso.
L’approccio illustrato nel presente paragrafo è basato sulla la meccanica del danno e riesce a cogliere le
fessurazioni che nascono e si sviluppano nel materiale sollecitato oltre la tensione massima e che hanno,
come effetto primario, quello di comportare una riduzione della rigidezza del materiale stesso, specialmente
nelle sollecitazioni di trazione.
Risultati
Le proprietà dinamiche del fabbricato sono state indagate mediante un’analisi modale che ha consentito di
individuare le frequenze e le forme proprie dei principali modi di vibrazione della struttura, vale a dire, degli
oscillatori ad un solo grado di libertà che ne descrivono il comportamento dinamico; di seguito si riporta uno
stralcio dei risultati delle analisi svolte in termini di periodo e fattori di partecipazione modale.
Si mostrano i risultati del calcolo di domanda sismica e le assunzioni effettuate; nella seguente immagine si
mostra il punto di controllo scelto per le analisi.
Metodo di calcolo di domanda sismica: metodo B, Circ. esplicativa NTC 2018 n. 7 del 21/01/2019.
Coefficienti k metodo B adottati:
direzione x: k = 0.33
direzione y: k = 0.33
Spinte considerate:
direzione x: 3° spinta gruppo 1 e spinta proporzionale alle masse gruppo 2
direzione y: 3° spinta gruppo 1 e spinta proporzionale alle masse gruppo 2
Risultati per caso più gravoso: 3° spinta gruppo 1: -Y – Load Increment n. 27 – IR = 0.60
Di seguito vengono mostrati, in termini di contour di verifica degli elementi Beams e degli elementi Plates,
alcuni risultati delle analisi statiche non lineari effettuate, in corrispondenza della spinta più gravosa.
Beams - verifiche elementi duttili NTC2018-DS-DC;
Beams – verifiche taglio travi NTC2018-DS-DC;
Plates – ampiezza media delle fessure;
Plates – scorrimento lungo le fessure;
Plates – spaziatura media perpendicolare alle fessure;
Plates – tensione princ. Max cls/mur. z=0, ovvero l’andamento della tensione principale di trazione
nella muratura;
Plates – tensione princ. Min cls/mur. z=0, ovvero l’andamento della tensione principale di
compressione nella muratura.
L’indicatore di rischio sismico è dato dal rapporto fra capacità e domanda in termini di PGA.
Valori prossimi o superiori all'unità caratterizzano casi in cui il livello di rischio è prossimo a quello richiesto
dalle norme; valori bassi, prossimi a zero, caratterizzano casi ad elevato rischio.
La Domanda in termini di PGA, ovvero il valore dell’accelerazione di picco al suolo ed il relativo valore del
periodo di ritorno associato all’azione sismica per lo stato limite di salvaguardia della vita umana (SLV) risulta:
Stati limite
Tr [anni]
Salvaguardia Vita (SLV)
712
Per la condizione “ante operam” si hanno i seguenti risultati:
Stato Limite
(PGAC/PGAD)
TRc (anni)
SLV
0.29
46
Per la condizione “post operam” i seguenti:
Stato Limite
(PGAC/PGAD)
TRc (anni)
SLV
0.60
199
Quindi a seguito degli interventi (inserimento di nuove pareti in Poroton dello spessore di 30 cm) si ha un
incremento dell’indice di rischio da 0.29 (stato di fatto) a 0.60 (stato di progetto), con incremento risultante
pari a 0.31, superiore al valore minimo 0.1 richiesto da normativa.
Conclusioni
Il presente articolo descrive i risultati delle analisi statiche non lineari agli elementi finiti condotte per un
progetto di miglioramento sismico di un edificio ospedaliero caratterizzato da diversi sistemi strutturali
coesistenti, quali pareti in mattoni pieni a cassa-vuota con pilastri in c.a. di irrigidimento, cordoli di piano in
c.a., murature a due teste in mattoni pieni, sistema di copertura in capriate lignee.
Il documento evidenzia l'importante ruolo svolto dalle analisi statiche non lineari agli elementi finiti nel
contesto delle strutture miste, una realtà ampiamente diffusa nel panorama del patrimonio edilizio.
Nel contesto di tali strutture eterogenee, è emersa la necessità di introdurre nuove pareti in muratura
mediante blocchi semipieni al fine di potenziare la capacità sismica complessiva dell'edificio. Le analisi non
lineari hanno svolto un ruolo cruciale nel valutare il comportamento strutturale in condizioni estreme,
fornendo così una base tecnica solida per la progettazione di interventi volti al miglioramento sismico.
Questo studio non solo contribuisce alla comprensione dettagliata di come diverse componenti interagiscano
sotto sollecitazioni sismiche, ma sottolinea anche l'importanza di adottare approcci avanzati come le analisi
FEM non lineari e il modello a fessure spalmate rotanti, specialmente in contesti di edifici misti. Tali
metodologie forniscono informazioni critiche per ottimizzare il progetto degli interventi sulle strutture
esistenti, assicurando che queste siano in grado di resistere con resilienza e sicurezza agli impatti degli eventi
sismici, mediante una transizione da un tradizionale approccio di progettazione prescrittivo ad un più
avanzato approccio prestazionale.
Bibliografia
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a Department of Civil Engineering, University of Patras, P.O. BOX 1424, Patras, 26500, Greece.
[2] D.M. 17/01/2018 – Aggiornamento delle “Norme tecniche per le costruzioni” – 2018
[3] Circ. esplicativa NTC 2018 n. 7 del 21/01/2019
[4] Straus7, codice di calcolo agli elementi finiti, distribuito in Italia dalla HSH srl di Padova, www.hsh.info
[5] EasyOver, applicativo di Straus7 per le analisi statiche non lineari di edifici in cemento armato e
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[6] Disturbed Stress Field Model for Reinforced Concrete: Formulation - F. J. Vecchio (2000) - J. Struct.
Engrg., ASCE 126 (9), 1070-1077
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[8] Fiber reinforced concrete and mortar for enhanced structural elements and repair of masonry walls -
L. Facconi (2012) – Tesi di Dottorato Dip. Ingegneria Civile, Architettura, Territorio, Ambiente e di
Matematica Univ. di Brescia
[9] Straus7 Theoretical Manual. Theoretical background to the Straus7 finite element analysis system -
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[10] Analisi non lineare di strutture in muratura con Straus7 ed EasyOver – G. Di Sciascio – Ingenio
https://www.ingenio-web.it/29450-analisi-non-lineare-di-strutture-in-muratura-con-straus7-ed-
easyover